Vorhand- und Vorkaufsrecht in einem Aktionärsbindungsvertrag

A. (Kläger, Beschwerdeführer) gründete im Jahr 2011 die C. AG. B. (Beklagte, Beschwerdegegnerin) arbeitete in diesem Unternehmen.

Im Jahr 2018 gründete der Kläger im Rahmen einer Nachfolgeregelung die D. AG. Das Aktionariat dieser neuen Gesellschaft setzte sich aus dem Kläger, der Beklagten, E., F. und G. zusammen. Die Aktionäre schlossen bei der Gründung der D. AG einen Aktionärsbindungsvertrag (ABV). 

In Ziffer 3.2 ABV vereinbarten sie Folgendes: 

«Vorhand- und Vorkaufsrecht 

Beabsichtigt eine Partei (‹veräussernde Partei›), Aktien der D. AG an eine andere Partei oder an Dritte durch irgend ein [sic] Rechtsgeschäft zu verkaufen, zu verpfänden, zur Nutzniessung zu geben oder sonst wie entgeltlich oder unentgeltlich zu übertragen (‹veräussern›), so hat sie diese Aktien vorgängig den übrigen Vertragsparteien nach den folgenden Regeln zum Kauf anzubieten:

-  Das Angebot erfolg [...]